Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor

Pada proyeksi vektor ada 2 kemungkinan yang akan ditanya. Andaikan diketahui $\vec a= (p,q,r) \, \, \vec b = (k,l,m)$

 Pertama ditanya

PANJANG PROYEKSI/PROYEKSI SKALAR ORTOGHONAL 

Biasanya pada soal pilihan ganda akan ada pilihan berupa suatu bilangan atau skalar. Untuk menghitung panjang proyeksi vektor  a pada b bisa dengan mengunakan rumus:

$ | \vec x | = \frac { \vec a . \vec b}{|b|}$

Sementara cari dulu,
$ \vec a . \vec b = (pk+ql+rm) = | \vec a| | \vec b| \cos (a,b)$
$\vec b = \sqrt {k^2+l^2+m^2}$

Contoh Soal 1:

Proyeksi Skalar Ortogonal vektor
$ \vec a = (p+1) i + pj + (p-3) k = (p+1) , p , (p-3)$
pada
$ \vec b = 3i +4k = (3,0,4)$
adalah $ \frac {17}{5}$. Maka nilai p yang tepat adalah...

Pembahasan:
 $| \vec x |= \frac { \vec a . \vec b}{|b|}$
$ \frac {17}{5} = \frac {3(p+1)+ 0.p+4(p-3)}{ \sqrt {3^2+4^2}}$
$\frac {17}{5} = \frac {7p -9}{ 5}$
7p-9 =17
p= 26/7

Vektor Proyeksi/Proyeksi Vektor

Jika pada soal pilihan ganda bisa dilihat hasilnya berupa vektor lagi. Rumus yang digunakan mencari vektor proyeksi,

$  \vec x  = (\frac { \vec a . \vec b}{|b|^2}) \vec b$

Sementara cari dulu,
$ \vec a . \vec b = (pk+ql+rm) = | \vec a| | \vec b| \cos (a,b)$
$\vec b = \sqrt {k^2+l^2+m^2}$

Contoh Soal 2

Diketahui
$\vec p = -2i+j+k  = -2,1,1 \\ \vec q = -6i-j-4k = -6,-1,-4 \\ \vec r = 3i+4j = 3,4,0$
Proyeksi vektor $( \vec p+ \vec q)$ pada vektor $\vec r$ adalah...

Pembahasan:
Karena akan diproyeksikan (p+q)(angap sebagai a) pada r (anggap sebagai b). Maka kita cari (p+q) terlebih dauhulu,
$\vec a = ( \vec p+ \vec q) = (-8,0-3) \\ \vec b= \vec r = (3,4,0)$
$\vec x  = (\frac {-24}{|5|^2}) (3,4,0) \\ \vec x  = (\frac {-24}{25}) (3,4,0) $