Contoh Soal Soal tentang Perkalian Vektor

Perkalian Vektor

1. Jika diketahui panjang vektor |a|=5, panjang vektor |b|=8. Sudut antara vektor tersebut 45$^0 $. Hitunglah a.b=..

Pembahasan:
a.b= |a|.|b| cos (∠a,b)
a.b= 5.8.cos 45$^0 $
a.b = 20√2

2. Jika diketahui |a+b| =13. |a-b|= 8. Maka hitunglah a.b

Pembahasan:
$| \vec a \pm \vec b|^2 = | \vec a |^2+| \vec b |^2 \pm 2.|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
Dari rumus di atas:
$| \vec a + \vec b|^2 = | \vec a |^2+| \vec b |^2 + 2.|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
$13^2 = | \vec a |^2+| \vec b |^2 + 2.|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
$8^2= | \vec a |^2+| \vec b |^2 - 2.|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
Eliminasi
$105=4.|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
Ingat:

a.b= |a|.|b| cos (∠a,b)

$ \frac {105}{4}=|\vec a||\vec b| cos (\angle a,b)$
$ \frac {105}{4}=\vec a. \vec b $

3. Jika vektor $ \vec a$ (2,-1,2) dan $ \vec b$ (4,m,2) dan sudut antara vektor $ \vec a$ dan $ \vec b$ 1/3. Maka nilai m yang memenuhi adalah..

Pembahasan:

Rumus Perkalian Vektor, misal a (p,q,r) dan b (k,l,m)
$ \vec a. \vec b = pk+ql+rm = | \vec a || \vec b | cos ( \angle a,b)$
$ | \vec a |= \sqrt {p^2+q^2+r^2}$
$| \vec b | =\sqrt {k^2+l^2+m^2}$

Gunakan 2 ruas paling kanan.
$4-m+4 = \sqrt {2^2+(-1)^2+2^2} . \sqrt {4^2+m^2+2^2} \frac {1}{3}$
$4-m+4 = 3 . \sqrt {4^2+m^2+2^2} \frac {1}{3}$
$(8-m)  =   \sqrt {4^2+m^2+2^2}  \\ \text {kuadratkan} \\ 64-16m+m^2 = 16+m^2+4 \\ 54=16 m \\ m = \frac {54}{16}$